La question de la validité d'un résultat en mathématiques paraît être réglée par les procédures de démonstration ; l’édifice mathématique, quant à lui, semble relativement assuré par les diverses théories de fondements. Pourtant, les écrits des mathématiciens anciens et contemporains fourmillent d’exemples de discours de justification. Lorsqu’une notion est introduite, il est de bonne politique d’en justifier l’intérêt par quelques exemples bien choisis, le choix des méthodes de démonstration est aussi souvent l’objet d’une discussion ; plus généralement, les premières minutes d’un exposé de séminaire ou les premières pages d’un livre sont souvent consacrées à montrer l’ancrage du sujet de l’exposé ou du livre dans l’histoire, à en prouver la modernité et à en illustrer la pertinence par des exemples. Quelle est donc l’utilité des pratiques de justification en mathématiques ? Ces pratiques relèvent-elles de l’indispensable communication des résultats d’une recherche ou sont-elles plus inhérentes à la pratique des mathématiques ? Relèvent-elles de la rhétorique d’exposition ou de l’épistémologie ambiante d’une discipline ? Comment s’imbriquent-elles avec les questions de fondements ?
Les travaux qui composent cet ouvrage interrogent les aspects rhétoriques des discours de mathématiciens du 19e siècle avec l’intention de comprendre comment les pratiques de justification ont pu modeler l’activité de fondements. En effet, les questions de fondements et celles du rapport entre logique et mathématiques sont à la fin du 19e siècle l’occasion de nombreuses discussions et discours dans lesquels les mathématiciens tentent de définir ce que doivent être les mathématiques et de proposer des normes à leur pratique. Les arguments avancés dans ces discussions sont parties prenantes de lignes argumentatives qui sont développées tout au long du 19e siècle. En suivant les trajectoires de ces lignes, nous proposerons quelque contributions à une reconstruction de l’histoire des fondements qui, à la différence de l’histoire convenue, serait inscrite dans la pratique des mathématiciens du 19e siècle et dans les débats qui traversent à cette époque ces milieux.